Графическое изображение вариационных рядов

Графическое изображение зависимости между величинами дает возможность представить эту зависимость наглядно. Графики могут служить основой для открытия новых свойств, соотношений и закономерностей.

Наиболее употребительными графиками для изображения вариационных рядов, т. е. соотношений между значениями признака и соответствующими частотами или относительными частотами, являются полигон, гистограмма и кумулята.

Полигон чаще всего используют для изображения дискретных рядов. Для построения полигона в прямоугольной системе координат на оси абсцисс в произвольно выбранном масштабе откладывают значения аргумента, т. е. варианты, а на оси ординат также в произвольно выбранном масштабе - значения частот или относительных частот. Масштаб выбирают такой, чтобы была обеспечена необходимая наглядность, и чтобы рисунок имел желательный размер. Далее в этой системе координат строят точки, координатами которых являются пары соответствующих чисел из вариационного ряда. Полученные точки последовательно соединяют отрезками прямой. Крайнюю "левую" точку соединяют с точкой оси абсцисс, абсцисса которой находится слева от рассматриваемой точки на таком же расстоянии, как абсцисса ближайшей справа точки. Аналогично крайнюю "правую" точку также соединяют с точкой оси абсцисс.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Решение.

Строим точки основываясь на данных из таблицы. Полученные точки соединяем отрезками прямой. Обратите внимание на точки (0; 0) и (13; 0), расположенные на оси абсцисс и имеющие своими абсциссами числа, на 1 меньшее и большее, чем соответственно абсциссы самой левой и самой правой точек. Полигон частот изображен на рисунке.

Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс - серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю. Конечно, в этом случае полигон лишь приближенно отображает зависимость частот от значений аргумента.

Кумулята служит для графического изображения кумулятивного вариационного ряда. Для ее построения на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - накопленные частоты или накопленные относительные частоты. Масштаб на каждой оси выбирают произвольно. Далее строят точки, абсциссы которых равны вариантам (в случае дискретных рядов) или верхним границам интервалов (в случае интервальных рядов), а ординаты - соответствующим частотам (накопленным частотам). Эти точки соединяют отрезками прямой. Полученная ломаная и является кумулятой.

Пример построения кумуляты

По данным таблицы составить кумулятивный вариационный ряд, для которого построить кумуляту.

Решение.

Cоставим кумулятивный вариационный ряд (см. таблицу ниже), для которого построим кумуляту.

Гистограмму используют для изображения интервальных рядов. Для построения гистограммы по данным вариационного ряда с равными интервалами, как и для построения полигона, на оси абсцисс откладывают значения аргумента, а на оси ординат - значения частот или относительных частот. Далее строят прямоугольники, основаниями которых служат отрезки оси абсцисс, длины которых равны длинам интервалов, а высотами - отрезки, длины которых пропорциональны частотам или относительным частотам соответствующих интервалов.

В результате получают ступенчатую фигуру в виде сдвинутых друг к другу прямоугольников, площади которых пропорциональны частотам (или относительным частотам).

Если интервалы неравные, то на оси ординат следует откладывать в произвольно выбранном масштабе значения плотности распределения (абсолютной или относительной). Таким образом, высоты прямоугольников, которые мы строим, должны равняться плотностям соответствующих интервалов.

При графическом изображении вариационного ряда с помощью гистограммы плотность изображается так, как если бы она оставалась постоянной внутри каждого интервала. На самом деле, как правило, это не так. Если построить распределение по частям интервалов, то можно убедиться в том, что плотность распределения на различных участках интервала не остается постоянной. Плотность, полученная ранее, представляла лишь некоторую среднюю плотность. Итак, гистограмма изображает не фактическое изменение плотности распределения, а лишь средние плотности распределения на каждом интервале.

Если построена гистограмма интервального распределения, то полигон того же распределения можно получить, если соединить прямолинейными отрезками середины верхних оснований прямоугольников.

Пример построения гистограммы

По результатам тестирования по математике учащихся 7-го класса получены данные о доступности заданий теста (отношение числа учащихся, правильно выполнивших задания, к числу тестировавшихся учащихся), предствленные ниже, в таблице.
Тест содержал 25 заданий. Построить гистограмму.

Решение.

Откладываем на оси абсцисс 7 отрезков длиной 10. На них, как на основаниях, строим прямоугольники, высоты которых соответственно равны 1, 1, 5, 7, 7, 3, 1. Полученная ступенчатая фигура и является искомой гистограммой.

Пример построения гистограммы

Данные, приведенные в предыдущем примере представим более подробно (см. таблицу ниже.). Построить гистограмму.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, в частности, полигон и гистограмму.

Определение . Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , n 1), (x 2 , n 2), …, (x k , n k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат – соответствующие им частоты n i . Точки (x i , n i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1 , w 1), (x 2 , w 2), …, (x k , w k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x i , а на оси ординат w i . Точки (x i , w i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

Рис. 6. Полигон относительных частот.

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длинной h и находят для каждого частичного интервала n i – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал.

Определение . Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению (плотность частоты).

Рис. 7. Гистограмма частот.

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии .

Площадь i-го частичного прямоугольника равна =─ сумме частот вариантi-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

На рисунке 2 изображена гистограмма частот распределения объема n=100, приведенного в таблице 1.

Частичный интервал, длиною h=5		Плотность частоты

Определение . Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадьi-го частичного прямоугольника равна =─ относительной частоте вариант, попавших вi-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.

В результате выборки получена следующая таблица распределения частот.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения.

Для начала построим полигон частот.

Рис. 8. Полигон частот.

Чтобы построить полигон относительных частот найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки n.

n = 3 + 10 + 7 = 20.

Получаем

Построим полигон относительных частот.

Рис. 9. Полигон относительных частот.

2. Построить гистограммы частот и относительных частот распределения.

Найдем плотность частоты :

Частичный интервал, длиною h = 3	Сумма частот вариант частичного интервала	Плотность частоты

Для наглядности строят различные графики статистического распределения, и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигон

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты . Такие точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты (частости) . Такие точки соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Пример 1

Построить полигон частот и полигон относительных частот (частостей):

2

7

8

15

16

17

15

35

64

55

21

10

Вычислим относительные частоты (частости):

Относительные частоты,

2

15

0.075

7

35

0.175

8

64

0.320

15

55

0.275

16

21

0.105

17

10

0.050

Итого

200

1.000

Полигон частот

Полигон относительных частот

В случае интервального ряда для построения полигона в качестве берутся середины интервалов.

• К оглавлению решебника по
  • Теории вероятностей и математической статистике 〉〉
  • Статистике 〉〉

Гистограмма

В случае интервального статистического распределения целесообразно построить гистограмму.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты (в случае равных интервалов) должны быть пропорциональны частотам. При построении гистограммы с неравными интервалами по оси ординат наносят не частоты, а плотность частоты . Это необходимо сделать для устранения влияния величины интервала на распределение и иметь возможность сравнивать частоты.

В случае построения гистограммы относительных частот (гистограммы частостей) высоты в случае равных интегралов должны быть пропорциональны относительной частоте , а в случае неравных интервалов высота равна плотности относительной частоты .

Пример 2

Построить гистограмму частот и относительных частот (частостей)

2-5

5-8

8-11

11-14

14-17

17-20

15

35

64

55

21

10

Вычислим относительные частоты:

Интервалы,

Относительные частоты,

2 – 5

15

0.075

5 – 8

35

0.175

8 – 11

64

0.320

11 – 14

55

0.275

14 – 17

21

0.105

17 – 20

10

0.050

Итого

200

1.000

Гистограмма частот

Гистограмма относительных частот

Пример 3

Построить гистограмму частот (случай неравных интервалов).

2-4

4-8

8-13

13-15

15-17

17-20

15

35

64

55

21

10

Вычислим плотности частоты:

Интервалы,

Длина интервала,

Плотность частоты,

2 – 4

15

2

7.500

4 – 8

35

4

8.750

8 – 13

64

5

12.800

13 – 15

55

2

27.500

15 – 17

21

2

10.500

17 – 20

10

3

3.333

Итого

200

--

--

Гистограмма частот

Полигон частот

Пусть нам дан ряд распределения, записанный с помощью таблицы:

Рисунок 1.

Определение 1

Полигон частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,n_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 2. Полигон частот.

Помимо обычной частоты существует еще понятие относительной частоты.

Получаем следующую таблицу распределения относительных частот:

Рисунок 3.

Определение 2

Полигон относительных частот -- ломанная, которая соединяет точки $(x_m,W_m)$ ($m=1,2,\dots ,m)$.

То есть, для построения полигона частот необходимо на оси абсцисс откладывают значения вариант, а по оси ординат соответствующие относительные частоты. Полученные точки соединяют ломанной:

Рисунок 4. Полигон относительных частот.

Гистограмма частот

Помимо понятия полинома для непрерывных значений существует понятие гистограммы.

Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $\frac{n_ih}{h}=n_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $\sum{n_i}=n$, то есть равна объему выборки.

Определение 4

Гистограмма относительных частот -- ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основанием -- частичными интервалами длины $h$ и высотами $\frac{W_i}{h}$:

Рисунок 6. Гистограмма относительных частот.

Заметим, что площадь одного такого прямоугольника $\frac{W_ih}{h}=W_i$. Следовательно, площадь всей фигуры равна $\sum{W_i}=W=1$.

Примеры задачи на построение полигона и гистограммы

Пример 1

Пусть распределение частот имеет вид:

Рисунок 7.

Построить полигон относительных частот.

Построим сначала ряд распределения относительных частот по формуле $W_i=\frac{n_i}{n}$